Numero variacional: 2011

Funciones

funcion es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes potencia xn de la variable x. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio para designar una de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:

X	Y
-1 0 ½ 1 2	1 0 ¼ 1 4

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por ${\rm dom}(f)\,$ ${\rm dom}_f\,$ . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función. o

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

${\rm codom}(f)\,$ o $codom f$

Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por ${\rm im}(f)\,$ o ${\rm im}_f\,$ o $f(X)\,$ .

$Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}$

Una preimagen de un $y \in Y$ es algún $x\in X$ tal que $f(x)=y\,$ .

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

imagen:http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Aplicaci%C3%B3n_2.svg

Numeros reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son

√

= 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a ba. estrá a la derecha del punto que corresponde a

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos: 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.; 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).; $\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}=1\text{,}456465591386194\ldots$ es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si $\frac{p}{q}$ es un número racional, con p entero y qqx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales. natural, entonces es raíz del de la ecuación

Ejemplos: El número $\frac{\sqrt[3]{7}+1}{2}$ es algebraico puesto que es la raíz del polinomio $8 x 3 - 12 x 2 + 6 x - 8$; Un ejemplo de número trascendente es $\ln3=1\text{,}09861228866811\ldots$

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).

Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

IMAGEN:http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:N%C3%BAmeros_reales.svg

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Ejemplos de expresiones algebraicas son:
Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2r
r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2 V(a) = a3
2
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.

imagen: http://mate3eso.wordpress.com/2010/09/13/programacion/

viernes, 8 de abril de 2011

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